二维离散傅里叶变换性质证明二维离散傅里叶变换具有可分离性

什么是傅里叶变换？

傅里叶变换的意义和理解：

一、意义：

从现代数学的眼光来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。

在数学领域，尽管最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。"任意"的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类。

正是由于上述的良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。

二、理解：

傅里叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅里叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。

傅里叶变换的相关说明：

1、图像经过二维傅里叶变换后，其变换系数矩阵表明：

若变换矩阵Fn原点设在中心，其频谱能量集中分布在变换系数短阵的中心附近（图中阴影区）。若所用的二维傅里叶变换矩阵Fn的原点设在左上角，那么图像信号能量将集中在系数矩阵的四个角上。这是由二维傅里叶变换本身性质决定的。同时也表明一股图像能量集中低频区域。

2 、变换之后的图像在原点平移之前四角是低频，最亮，平移之后中间部分是低频，最亮，亮度大说明低频的能量大（幅角比较大）。

以上内容参考：

二维傅立叶变换的可分离性意义

二维傅立叶变换的可分离性意义如下：

根据二维离散傅里叶变换的可分离性，在计算二维离散傅里叶变换时，可先对图像像素矩阵的所有列分别进行列变换，然后再对变换结果的所有行分别进行行变换，这样就可以利用一维离散傅里叶变换算法串行计算二维离散傅里叶变换，这在某种程度上就简化了计算的过程。

傅里叶变换的实质是将一个信号分离为无穷多多正弦/复指数信号的加成，也就是说，把信号变成正弦信号相加的形式——既然是无穷多个信号相加，那对于非周期信号来说，每个信号的加权应该都是零——但有密度上的别，你可以对比概率论中的概率密度来思考一下——落到每一个点的概率都是无限小，但这些无限小是有别的。

所以，傅里叶变换之后，横坐标即为分离出的正弦信号的频率，纵坐标对应的是加权密度对于周期信号来说，因为确实可以提取出某些频率的正弦波成分，所以其加权不为零——在幅度谱上，表现为无限大——但这些无限大显然是有区别的。

所以我们用冲激函数表示已经说过，傅里叶变换是把各种形式的信号用正弦信号表示，因此非正弦信号进行傅里叶变换，会得到与原信号频率不同的成分——都是原信号频率的整数倍。这些高频信号是用来修饰频率与原信号相同的正弦信号，使之趋近于原信号的。

傅里叶变换的基本性质公式

傅立叶变换的公式为：

即余弦正弦和余弦函数的傅里叶变换如下：

傅立叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。

傅立叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅立叶变换用正弦波作为信号的成分。

扩展资料

如果t满足狄里赫莱条件：在一个以2T为周期内f(X)连续或只有有限个类间断点，附f（x）单调或可划分成有限个单调区间。

则F（x）以2T为周期的傅里叶级数收敛，和函数S（x）也是以2T为周期的周期函数，且在这些间断点上，函数是有限值。在一个周期内具有有限个极值点、可积。

傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成频率谱——显示与频率对应的幅值大小）。

为了在科学计算和数字信号处理等领域使用计算机进行傅里叶变换，必须将函数定义在离散点上而非连续域内，且须满足有限性或周期性条件。

二维离散傅里叶变换实验原理

您好，您是想问二维离散傅里叶变换实验原理是什么吗？二维离散傅里叶变换实验原理是将二维离散信号分解为一系列正弦和余弦函数的叠加。二维离散傅里叶变换实验通过将二维离散信号分解为一系列正弦和余弦函数的叠加，然后对这些频率和幅度的分析,可以得到信号的频谱信息,从而实现信号的滤波和频域处理，所以？二维离散傅里叶变换实验原理是将二维离散信号分解为一系列正弦和余弦函数的叠加。

5、二维离散傅里叶变换

令表示一幅大小为像素的数字图像，其中。

其二维离散傅里叶变换（DFT）为

离散傅里叶反变换（IDFT）为

令和分别表示的实部和虚部，则傅里叶谱定义为

变换的相角定义为

极坐标下表示复函数为

功率谱定义为幅度的平方

如果是实函数，则其傅里叶变换关于远点共轭对称

其傅里叶谱也关于原点对称

DTF 和 IDTF 的周期性

变换居中

使用傅里叶变换滤波时，需要对输入数据进行零填充。语法为

P , Q 为函数结果大小。

如何证明离散二维傅里叶变换的平移不变

针对图像检索存在性能的不稳定性、相对平移、旋转和尺度变换等问题,提出了基于区域内形状特征的不变矩和轮廓力矩法和傅里叶描述符结合的方法。其中的不变矩和轮廓力矩法具有良好的平移、旋转、尺度缩放不变性及抗干扰性,傅里叶算法不仅对噪音具有很好的鲁棒性,而且对几何变换具有不变性,更加适合图像检索的需要。通过实验可知,该算法对于图像的扭曲形变具有不变性,在具有一定形变干扰的情况下,仍得出较好的图像检索结果;且检索结果排列的顺序与人的主观视觉判断大致相同,检索精度好。